Álgebra Lineal

Titan III

Fue desarrollado por la Fuerza Aérea como un cohete para cargas pesadas, ser primordialmente usado para poner cargas del ejército, satélites de alerta temprana, espías y de comunicación de la red del ejército. Este también lanzó las sondas Voyager y los "landers" Viking a Marte.

En la imagen se muestra el detalle de la estructura de el Titan III lanzamiento del vehículo. 

Los números complejos aparecieron muy temprano en las matemáticas, pero fueron ignorados, por ser para la mayoría un poco extraños y difíciles de representar. Al comienzo los hombres solamente aceptaban los números naturales por ser los más adecuados para contar objetos que comúnmente se consideran como unidades. Pero al medir magnitudes como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles.

Los egipcios y babilonios se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones. Pero los griegos descubrieron que había cantidades definidas que no podían ser expresadas como cocientes de números enteros, la noción de número extiende más allá, ya que los griegos no aceptaban que hubiera números menores que el cero.

Los números complejos aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos los cuales no poseen soluciones reales. Los matemáticos griegos que conocían métodos geométricos de resolución, consideraban estos problemas irresolubles, rechazaban el uso de números negativos por la falta de un equivalente dentro de la geometría que para ese momento era el centro de la matemática.

El surgimiento de los números complejos no se debió solo a la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones cuadráticas, sino que viene también de las ecuaciones cúbicas. Más adelante con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía para manipular ecuaciones, desligadas de la geometría. 

En este curso vamos a trabajar con un software llamado "SageMath". Se puede descargar desde la pagina oficial. Trabajaremos la parte de python para solucionar ejercicios y confirmar nuestros resultados.

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones inspirado en los números complejos¹; y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión). 

Introducimos en este tema una de las herramientas fundamentales del Algebra, las matrices, con las que trabajaremos a lo largo de todo el texto. Es probable que el lector haya tenido ya un contacto previo con estos objetos, así como con los determinantes, por lo que este tema consistirá esencialmente en un repaso de tales contenidos, aunque con un enfoque más abstracto. Básicamente recordaremos las operaciones entre matrices, el método de Gauss y el cálculo de determinantes, esperando que el lector adquiera una adecuada soltura operacional con ellos. Puesto que el cálculo matricial es sin duda tedioso, principalmente cuando el tamaño de las matrices aumenta, incluimos tambien una sección dedicada a la realización de estas operaciones con Python. De este modo el lector tendrá la oportunidad de realizar los numerosos cálculos que involucren matrices a lo largo del texto con rapidez. No obstante, es importante resaltar la importancia de saber realizar tales operaciones sin la necesidad del ordenador. Por último, hacemos una pequeña incursión en una de las múltiples aplicaciones donde aparecen las matrices: la teoría de grafos.